王元

大家知道，1、2、3、4、5、6等等这些很普通的数字，在我们日常生活里每天都要碰到，在尖端科学技术领域中，更是离不开它们。1、2、3、4、5、6等等，这些数字在数学上叫做正整数。其它的数字，像负数、有理数等等，都是以正整数为基础来定义的，正整数是数学当中最基本的东西。所以研究正整数的规律是非常重要的。在数学中，研究数的规律，特别是研究整数性质的数学，叫做“数论”。“数论”同“几何学”一样，是数学当中最古老的一个分支。

一些数字，看起来好像很简单，但是它却包含着许多有趣而深奥的学问。现在，先就我们涉及到的一些数学名词做一点解释。

首先说说“素数”，什么叫“素数”呢？除掉1以外，有些正整数只能用1和它本身除尽，而不能被其它的整数整除，这类的正整数就叫做“素数”。比如2、3、5、7、11、13、17、19等等，拿2来说，被1除，得2，除尽了；被它自身除，得1，也除尽了。除去1和2本身，就再也没有整数能够除尽它了。其它的素数也是如此。

除了素数以外，还有一类数，就是除掉1和它本身以外，还能够被别的整数除尽的数，叫做“复合数”。像4、6、8、9、10、12、14、15等等就都是简单的复合数，像4，除了用1和它本身4可以除尽以外，还可以用2除尽。其它的复合数也都可以用三个或者三个以上的整数除尽。因此，正整数就分成1、素数和复合数三类。再说说什么是“偶数”和“奇数”。凡是能够被2除尽的正整数，就叫做“偶数”，如2、4、6、8、10等等。其余的整数，比如1、3、5、7、9等等不能被2除尽，就叫做“奇数”。

任何一个复合数都能够分解成几个素数的乘积，比如30=2×3×5等等，30是个复合数，2、3、5都是素数，这些素数就是复合数的素因子。那么，如果把复合数分解成素数之和的情况又会怎么样呢?这里面是不是有什么规律呢？素数在正整数中是最基本的，研究数论的最基本的课题之一，就是研究素数的性质。

在数论的研究当中，人们往往根据一些感性的认识，小心地提出一些“猜想”，然后再通过严格的数学方法来论证它，通过研究推算，被证明了的猜想就变成了“定理”。当然要证明一个“猜想”并不是很容易的事，也有一些猜想最后被否定了。

到底什么是哥德巴赫猜想呢？

早在1742年，德国数学家哥德巴赫写信给著名的数学家欧拉，提出了两个猜想，第一个是：任何一个大于2的偶数，都是两个素数的和。简单地就用1+1来表示；他提出的第二个猜想是，每个大于5的奇数，都是三个素数的和。数学家欧拉当时表示相信哥德巴赫提出的猜想是对的。可是他证明不出来。到了1900年，德国的数学家希伯尔特在一次国际数学会的演说中，把哥德巴赫猜想看成是数学研究领域里遗留下来的最重要的问题之一，把它介绍给20世纪的数学家来解决。

七十年来，哥德巴赫猜想吸引着世界上很多著名数学家，他们在研究论证这个猜想的工作中，取得了不少成绩。此外，研究哥德巴赫猜想的方法，不仅对数论的研究有很广泛的应用，而且还可以在不少数学分支中运用。比如英国数学家哈代和李特伍德在1922年提出一个研究哥德巴赫猜想的方法，叫做“圆法”。1937年，苏联的数学家依·维诺格拉朵夫使用圆法，结合他创造的三角和估计方法，证明了每个充分大的奇数都可以表示成三个素数的和。这里说的充分大的奇数就是大于某个正整数N的奇数，这个N有时是可以具体给出来的，有时只知道存在这么一个数，但算不出来。所以到此，哥德巴赫提出的第二个猜想算是得到了证明。剩下的就是要证明他提出的第一个猜想了，也就是要证明1+1这个命题是正确的。

1920年，挪威数学家布朗改进了有2000多年历史的埃氏“筛法”。布朗用他改进了的埃氏筛法证明了，每一个充分大的偶数是二个素因子个数都不超过9的数的和，我们把布朗的结果表示为9+9。1924年，德国数学家拉代马哈证明了每一个充分大的偶数是二个素因子个数都不超过7的数的和，也就是证明了7+7。1932年，英国的埃斯特曼证明了6+6。后来，苏联的布赫夕塔布又证明了5+5和4+4。这样，对于哥德巴赫猜想的研究推算，就好像运动员不断地刷新着世界纪录一样，一步步地接近于最后的结论了。我国著名的数学家华罗庚同志早在三十年代就开始研究这个问题，并且做出了很好的成就。解放以后，华罗庚同志又指导他的一些学生研究哥德巴赫猜想，不断地取得了成果，得到了国内外数学界的高度评价。1956年，我证明了每个充分大的偶数都是一个素因子个数不超过3的数及另一个素因子个数不超过4的数的和，也就是证明了3+4。同一年，苏联的阿·维诺格拉朵夫证明了3+3。1957年，我又证明了2+3。在这些研究结果中，也存在着一些缺点，就是，在两个相加的数中，还没有一个可以肯定是素数的。这里所用的方法还不够精密。

早在1948年，匈牙利的瑞尼，首先证明了每一个充分大的偶数都是一个素数及一个素因子个数不超过C的数的和，也就是证明了1+C。但这里的缺点是C是一个很大的数，他并没有具体计算过。直到1962年，我国的潘承洞同志同苏联的巴尔巴恩都证明出了（1+5）。1963年，我和潘承洞同志又证明了（1+4），苏联的巴尔巴恩也证明了（1+4）。1965年，苏联的阿·维诺格拉朵夫、布赫夕塔布和意大利的朋比尼都证明了（1+3）。

我国著名数学家陈景润同志，在研究哥德巴赫猜想的过程中，进一步改进了筛法，经过他不断刻苦的努力，终于证明了（1+2），取得了到目前为止世界上研究哥德巴赫猜想的最好成果。陈景润同志证明了，任何一个充分大的偶数，都可以表示成为两个数之和，其中一个是素数，另一个虽然不一定是素数，但是顶多也只是两个素数的乘积。陈景润取得的研究成果，在世界数学界引起了强烈的反响，得到了高度的评价，为我国赢得了荣誉。

到现在为止，距离最终解决哥德巴赫猜想只剩下最后一步了。但是要走完这一步，决不是轻而易举的，必须经过顽强、刻苦的努力，才能取得出色的成果。

(选自《科学家谈现代科学技术》，1979年)