初中1年级 - 应用文 阅读指导

精编初中数学探索规律经典应用题汇总

“有比较才有鉴别”。通过比较，可以发现事物的相同点和不同点，更容易找到事物的变化规律。找规律的题目，通常按照一定的顺序给出一系列量，要求我们根据这些已知的量找出一般规律。揭示的规律，常常包含着事物的序列号。所以，把变量和序列号放在一起加以比较，就比较容易发现其中的奥秘。
　　 初中数学考试中，经常出现数列的找规律题，本文就此类题的解题方法进行探索：
一、解题方法
　　数字推理题难度较大，但并非无规律可循，了解和掌握一定的方法和技巧对解答数字推理问题大有帮助。
　　1.快速扫描已给出的几个数字，仔细观察和分析各数之间的关系，尤其是前三个数之间的关系，大胆提出假设，并迅速将这种假设延伸到下面的数，如果能得到验证，即说明找出规律，问题即迎刃而解；如果假设被否定，立即改变思考角度，提出另外一种假设，直到找出规律为止。
　　2.推导规律时往往需要简单计算，为节省时间，要尽量多用心算，少用笔算或不用笔算。
　　3.空缺项在最后的，从前往后推导规律；空缺项在最前面的，则从后往前寻找规律；空缺项在中间的可以两边同时推导。
要抓题目里的变量
找数学规律的题目，都会涉及到一个或者几个变化的量。所谓找规律，多数情况下，是指变量的变化规律。所以，抓住了变量，就等于抓住了解决问题的关键。
例如，用同样规格的黑白两种颜色的正方形瓷砖按下图方式铺地板，则第（3）个图形中有黑色瓷砖　　　块，第 个图形中需要黑色瓷砖　　　块（用含 的代数式表示）。（海南省2006年初中毕业升考试数学科试题（课改区））
　　这一题的关键是求第 个图形中需要几块黑色瓷砖？
解析：在这三个图形中，前边4块黑瓷砖不变，变化的是后面的黑瓷砖。它们的数量分别是，第一个图形中多出0×3块黑瓷砖，第二个图形中多出1×3块黑瓷砖，第三个图形中多出2×3块黑瓷砖，依次类推，第n个图形中多出（n-1）×3块黑瓷砖。所以，第n个图形中一共有4+（n-1）×3块黑瓷砖。
云南省2006年课改实验区高中（中专）招生统一考试也出有类似的题目：“观察图（l）至（4）中小圆圈的摆放规律，并按这样的规律继续摆放，记第n个图中小圆圈的个数为m，则，m=　　　　　　（用含 n 的代数式表示）。”

二、要善于比较
“有比较才有鉴别”。通过比较，可以发现事物的相同点和不同点，更容易找到事物的变化规律。找规律的题目，通常按照一定的顺序给出一系列量，要求我们根据这些已知的量找出一般规律。揭示的规律，常常包含着事物的序列号。所以，把变量和序列号放在一起加以比较，就比较容易发现其中的奥秘。
例如，观察下列各式数：0，3，8，15，24，……。试按此规律写出的第100个数是　　　　。”
解答这一题，可以先找一般规律，然后使用这个规律，计算出第100个数。我们把有关的量放在一起加以比较：
给出的数：0，3，8，15，24，……。
序列号： 1，2，3， 4， 5，……。
容易发现，已知数的每一项，都等于它的序列号的平方减1。因此，第n项是n2-1，第100项是1002-1。
如果题目比较复杂，或者包含的变量比较多。解题的时候，不但考虑已知数的序列号，还要考虑其他因素。
譬如，日照市2005年中等学校招生考试数学试题“已知下列等式：
① 13＝12；
② 13＋23＝32；
③ 13＋23＋33＝62；
④ 13＋23＋33＋43＝102 ；
…… ……
由此规律知，第⑤个等式是　　　　　　　　　　　。”
解析：这个题目，在给出的等式中，左边的加数个数在变化，加数的底数在变化，右边的和也在变化。所以，需要进行比较的因素也比较多。就左边而言，从上到下进行比较，发现加数个数依次增加一个。所以，第⑤个等式应该有5个加数；从左向右比较加数的底数，发现它们呈自然数排列。所以，第⑤个等式的左边是13＋23＋33＋43＋53。再来看等式的右边，指数没有变化，变化的是底数。等式的左边也是指数没有变化，变化的是底数。比较等式两边的底数，发现和的底数与加数的底数和相等。所以，第⑤个等式右边的底数是（1+2+3+4+5），和为152。
三、要善于寻找事物的循环节
有些题目包含着事物的循环规律，找到了事物的循环规律，其他问题就可以迎刃而解。
譬如，玉林市2005年中考数学试题：“观察下列球的排列规律《其中●是实心球，○是空心球》：
●○○●●○○○○○●○○●●○○○○○●○○●●○○○○○●……
从第1个球起到第2004个球止，共有实心球　　　　个。”
这些球，从左到右，按照固定的顺序排列，每隔10个球循环一次，循环节是●○○●●○○○○○。每个循环节里有3个实心球。我们只要知道2004包含有多少个循环节，就容易计算出实心球的个数。因为2004÷10=200（余4）。所以，2004个球里有200个循环节，还余4个球。200个循环节里有200×3=600个实心球，剩下的4个球里有2个实心球。所以，一共有602个实心球。
四、要抓住题目中隐藏的不变量
有些题目，虽然形式发生了变化，但是本质并没有改变。我们只要在观察形式变化的过程中，始终注意寻找它的不变量，就可以揭示出事物的本质规律。
例如，2006年芜湖市（课改实验区）初中毕业学业考试题“请你仔细观察图中等边三角形图形的变换规律，写出你发现关于等边三角形内一点到三边距离的数学事实：　　　　　　　。”
　
在这三个图形中，白色的三角形是等边三角形，里边镶嵌着三个黑色三角形。从左向右观察，其中上边两个黑色三角形按照顺时针的方向发生了旋转，但是形状没有发生变化，当然黑色三角形的高也没有发生变化。左起第一个图形里黑色三角形高的和是等边三角形里一点到三边的距离和，最后一个图形里，三个黑色三角形高的和是等边三角形的高。所以，等边三角形里任意一点到三边的距离和等于它的高。
六、要进行计算尝试
找规律，当然是找数学规律。而数学规律，多数是函数的解析式。函数的解析式里常常包含着数学运算。因此，找规律，在很大程度上是在找能够反映已知量的数学运算式子。所以，从运算入手，尝试着做一些计算，也是解答找规律题的好途径。
例如，汉川市2006年中考试卷数学“观察下列各式：0，x1，x2，2x3，3x4，5x5，8x6，……。试按此规律写出的第10个式子是　　　　。”
这一题，包含有两个变量，一个是各项的指数，一个是各项的系数。容易看出各项的指数等于它的序列号减1，而系数的变化规律就不那么容易发现啦。然而，如果我们把系数抽出来，尝试做一些简单的计算，就不难发现系数的变化规律。
系数排列情况：0，1，1，2，3，5，8，……。从左至右观察系数的排列，依次求相邻两项的和，你会发现，这个和正好是后一项。也就是说原数列相邻两项的系数和等于后面一项的系数。使用这个规律，不难推出原数列第8项的系数是5+8=13，第9项的系数是8+13=21，第10项的系数是13+21=34。
所以，原数列第10项是34x9。







2012年探索规律
1．直线上有2010个点，我们进行如下操作：在每相邻两点间插入1个点，经过3次这样的操作后，直线上共有________个点。
2．　（2010年安徽中考）下面两个多位数1248624……、6248624……，都是按照如下方法得到的：将第一位数字乘以2，若积为一位数，将其写在第2位上，若积为两位数，则将其个位数字写在第2位。对第2位数字再进行如上操作得到第3位数字……，后面的每一位数字都是由前一位数字进行如上操作得到的。当第1位数字是3时，仍按如上操作得到一个多位数，则这个多位数前100位的所有数字之和是（　　　）
A）495　　　B）497　　C）501　　 D）503
3．（2010年浙江省）阅读材料，寻找共同存在的规律：有一个运算程序a⊕b = n，
可以使：（a+c）⊕b= n+c，a⊕（b+c）=n－2c，
如果1⊕1=2，那么2010⊕2010 =________．
4．《2010重庆市》有两个完全重合的矩形，将其中一个始终保持不动，另一个矩形绕其对称中心O按逆时针方向进行旋转，每次均旋转45°，第1次旋转后得到图①，第2次旋转后得到图②，……，则第10次旋转后得到的图形与图①～④中相同的是（）

A．图①　　 B．图②　　　　C．图③　　　　 D．图④
5.（2010年四川省）如图，将第一个图（图①）所示的正三角形连结各边中点进行分割，得到第二个图（图②）；再将第二个图中最中间的小正三角形按同样的方式进行分割，得到第三个图（图③）；再将第三个图中最中间的小正三角形按同样的方式进行分割，……，则得到的第五个图中，共有________个正三角形。




6．（2010年福建省）如图，将一张正方形纸片剪成四个小正方形，得到4个小正方形，称为第一次操作；然后，将其中的一个正方形再剪成四个小正方形，共得到7个小正方形，称为第二次操作；再将其中的一个正方形再剪成四个小正方形，共得到10个小正方形，称为第三次操作；…，根据以上操作，若要得到2011个小正方形，则需要操作的次数是《　　》 .
A. 669　　　　B. 670　　　 C.671　　　　D. 672





7．（2010日照市）古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数，例如：　　







他们研究过图1中的1，3，6，10，…，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数；类似地，称图2中的1，4，9，16，…，这样的数为正方形数。下列数中既是三角形数又是正方形数的是
（A）15　　　　（B）25　　　　 （C）55　　　　（D）1225
8.我们常用的数是十进制数，计算机程序使用的是二进制数（只有数码0和1），它们两者之间可以互相换算，如将《101》2,《1011》2换算成十进制数应为：


按此方式，将二进制《1001》2换算成十进制数的结果是_______________.
9．（2010·汕头）阅读下列材料：
1×2 =　《1×2×3－0×1×2》，
2×3 =　《2×3×4－1×2×3》，
3×4 =　《3×4×5－2×3×4》，由以上三个等式相加，可得
1×2＋2×3＋3×4=　×3×4×5 = 20．
读完以上材料，请你计算下列各题：
《1》 1×2＋2×3＋3×4＋…＋10×11（写出过程）；
《2》 1×2＋2×3＋3×4＋…＋n×《n＋1》 = _________；
《3》 1×2×3＋2×3×4＋3×4×5＋…＋7×8×9 = _________．
10．（2010·汕头）如图（1），已知小正方形ABCD的面积为1，把它的各边延长一倍得到新正方形A1B1C1D1；把正方形A1B1C1D1边长按原法延长一倍得到正方形A2B2C2D2（如图（2））；以此下去…，则正方形A4B4C4D4的面积为__________．





第6题图


11.（2007四川）一个叫巴尔末的中学教师成功地从光谱数据 ， ， ， ，…中得到巴尔末公式，从而打开了光谱奥秘的大门，请你按照这种规律，写出第n（n≥1）个数据是___________．
12．（2007山东威海）观察下列等式：
， ， ， ， …
请你把发现的规律用字母表示出来：　　　　　。
13.（2007湖北武汉）下列图案是由边长为单位长度的小正方形按一定的规律拼接而成。依此规律，第5个图案中小正方形的个数为_______________。







14.（2007贵州贵阳）如图12，平面内有公共端点的六条射线 ， ， ， ， ， ，从射线 开始按逆时针方向依次在射线上写出数字1，2，3，4，5，6，7，…。
（1）“17”在射线　　　　上。
（2）请任意写出三条射线上数字的排列规律。
（3）“2007”在哪条射线上？





15．（2009年重庆）观察下列图形，则第 个图形中三角形的个数是（　　）

A． B． C． D．
16．《2009年河北》古希腊著名的毕达哥拉斯学派把1、3、6、10 … 这样的数称为“三角形数”，而把1、4、9、16 … 这样的数称为“正方形数”。 从图7中可以发现，任何一个大于1的“正方形数”都可以看作两个相邻“三角形数”之和。下列等式中，符合这一规律的是（　　）

A．13 = 3+10 B．25 = 9+16
C．36 = 15+21　 D．49 = 18+31






17．《2009成都》已知 ，记 ， ，…， ，则通过计算推测出 的表达式 ＝_______．《用含n的代数式表示》　　18．（2009年济宁市）观察图中每一个大三角形中白色三角形的排列规律，则第5个大三角形中白色三角形有　　　　　　个 ．





19．（2009年广西梧州）图（3）是用火柴棍摆成的边长分别是1，2，3 根火柴棍时的正方形。当边长为n根火柴棍时，设摆出的正方形所用的火柴棍的根数为 ，则 ＝　　。 （用n的代数式表示 ）





20.有一个四等分转盘，在它的上、右、下、左的位置挂着“众”“ 志”“ 成”“城”四个字牌，如图5-1．若将位于上下位置的两个字牌对调，同时将位于左右位置的两个字牌对调，再将转盘顺时针旋转90°，则完成一次变换。图5-2、图5-3分别表示第1次变换和第2次变换。按上述规则完成第9次变换后，“众”字位于转盘的位置是（　）
A．上 B．下　 C．左 　　D．右