纽结可是门古老而重要的学问。人类还没有文字以前，大概就会打结了，即所谓的"结绳记事"。后来纽结还成了艺术，近年春节流行中国结，网上有还专门的中国结网站；纽结甚至可以发展到和宗教仪式相关，比方说古凯尔特人(Celtic)的福音书中就记载有不少很漂亮的纽结，亚历山大大帝剑劈哥顿神结的传说也早已脍炙人口；对某些职业来说，打结还是必不可少的工作技巧，比如说早先的水手，现在的外科医生，不少魔法师是打（假）结的高手；就连我自己，每天起床后总要打两个结--系我的鞋带。
装饰有凯尔特结图案的十字架
不过本文要介绍的是数学中的纽结理论。它是数学学科代数拓扑的一个分支，按照数学上的术语来说，是研究如何把若干个圆环嵌入到三维实欧氏空间中去的数学分支。纽结理论的特别之处是它研究的对象必须是三维空间中的曲线。在两维空间中，由于没有足够的维数，我们不可能把一根曲线自己和自己缠绕在一起打成结；而在四维或以上的空间中，由于维数太多，无论怎么样的纽结都能够很方便地被解开成没有结的曲线。（不过纽结理论在高维的推广还是存在的，研究的是余维为2的子流形的嵌入问题，我们在这里不考虑它。）
和一般生活中的纽结不同，数学上研究的纽结一般是封闭的，没有能够自由活动绳端，就象你在封面上看见的那条绳子一样。一个圆圈是一个平凡的纽结，也就是说"没有结的纽结"：
最简单的不平凡的纽结是三叶结，按照手性不同分为互为镜象对称的左手三叶结和右手三叶结：
左手三叶结和右手三叶结
如果你拿根绳子打成上面的结（因为必须是封闭的绳圈，所以打完结后要把绳子两端固定在一起），然后在不扯断绳子的前提下（当然也不能把固定在一起的绳子两端重新分开），你会发现无论怎么摆弄，都不可能把三叶结解开成为一个简单的圆圈，而且你无法把左手三叶结变到右手三叶结。
如何判断一个纽结是否可以在不剪断，不粘连的情况下，变化为另一个纽结？换句话说，如何判断两个纽结其实是否同一个纽结？这是纽结理论的中心问题。纽结理论的目的就是为了将五花八门的纽结分类。这是一个出人意料地困难的问题。比如说，在上面我们很直观地发现，三叶纽结的确打了一个结，没办法解开成为无结的绳圈，但是要在数学上证明这一点并不太容易。虽然从高斯开始就有许多数学家对纽结理论展开了研究，但是要直到1910年左右，M. Dehn才证明了的确有不能解开的，非平凡的纽结。
纽结理论最初的一个设想是使用"相交数"这个概念，来对所谓的"素形"纽结（顾名思义它们是最基本的，不能分割成两个不平凡纽结，下面这个平结就不是素形纽结，你可以把它竖着从中间劈开，
然后分别把断头接好，得到两个三叶形纽结）进行分类。如果我们把一个结放在一个平面上"摊平"，数学上来说就是向平面作一个投影，使得绳子和自身相交的点尽量地少，这些相交点的数目就是这个纽结的相交数。很显然，如果两个纽结的相交数不一样，它们就不是同一个纽结。于是相交数就是可以用来区别不同纽结的不变量。在这里，不变量就是纽结在连续变化时保持不变的某种性质，不一定真是个数量，也可以是其他的数学结构，比如我们下面要讲的纽结群。通过证明两个纽结具有不同的某个不变量，我们就证明了它们是不同的纽结。不变量方法是数学中最重要的方法之一。
不过相交数不象看起来那么有用。一方面，大量不同的纽结可以有一样的相交数；另一方面，相交数的计算非常麻烦，如果纽结复杂的话，很难证明某种把纽结摊平在平面上的方法是恰当的，有时不如直接解一下纽结来得简单。比方说下面这个纽结，看起来复杂，如果就按图上这个方式摊在平面上，它的相交数似乎是10，但其实它就是没有结的平凡绳圈。如果你解不开的话，可以按一下它的图，看看动画（MPEG格式）。
它到底打结了没有？
数学家按照相交数为素形纽结命名并编制了目录，下面就是这样一张目录（点击看大图），里面列举了所有相交数小于等于8的单分支
素形纽结，和一部分相交数为9的单分支素形纽结以及一些多分支的素形纽结（镜象对称的算作同一个纽结）。对于单分支的素形纽结来说，我们看见三叶纽结是唯一的相交数为3的纽结，41是唯一相交数为4的纽结，又叫"八字结"，它有个和三叶结不同的特征，它没有左右手之分，自己就是自己的镜象。相交数为5的有2个，相交数为6的有3个，相交数为7的有7个相交数为8的有21个，相交数为9的有49个，相交数为10的有165个，相交数为11的有552个，相交数为12的有2176个，而相交数为13的有9988个 。这个表是否包含了所有相交数小于13的纽结，是否有重复计算，我们还没有的最终证明。
靠相交数这样简单直观的工具来研究纽结虽然有其必要，但是毕竟还不够强大。数学家们用代数拓扑的理论来研究纽结，方法有点匪夷所思。他们先不考虑纽结本身，却去考虑三维空间挖去纽结以后剩下来的那部分空间，考虑这个空间里的所有"闭合回路"所构成的群（就是伽罗华创立的群论研究的那个"群"，我们看见这实在是一个非常有用的工具！）这样的群叫做这个空间的"同伦群"，这是代数拓扑中的一个基本概念。大家也许在别的什么地方，比如宇宙学，或者干脆是科幻小说中（经常跟"虫洞"之类的东西在一起）听见过"单连通"、"多连通"之类的词，同伦群就是直接和这些词有关的数学概念。
这样每一个纽结就都有和它相关的一个群，叫纽结群。这个群可以用来把纽结分类，如果两个纽结的纽结群是不一样的，那么这两个纽结也一定是不一样的；而且很少会有不同的纽结具有相同的纽结群（不幸的是，并非每两个不同的纽结都有不同的纽结群，这个我们下面还会讲到）。我们还可以发展出其他的和纽结相关的不变量，比如说所谓的Alexander多项式。通过对纽结群等的研究，我们把一个纽结的问题转化成一个代数问题。另外数学家也通过几何途径发展了研究纽结的方法。
平结和错平结
但是虽然数学家有了许多强有力的工具，对许多看起来很简单的纽结问题，他们还是觉得十分棘手，比如说区别平结和错平结的问题。一个水手或者童子军都可以轻而易举地区别平结和错平结，但是从数学上要去区别它们却是非常困难的。因为它们都是由两个三叶节连接起来的，只不过一个是由两个手性不同的三叶结组成，而另一个却由两个手性不同的三叶结组成。纽结群对分辨不了两种手性不同的三叶结，于是对区别平结和错平结也无能为力。一直要到1984年，数学家才发现了新的名叫Johns多项式的不变量来区分它们。纽结理论中有大量的没有被解决的问题，数学家们正不断地发明新的理论和工具来试图解开这些奇妙的纽结。
虽然数学家研究纽结理论的初衷只是由于觉得这是一个非常有趣的理论，并没有预先设想它会有什么具体的用场，今天纽结理论在研究复杂分子空间的分子化学和研究DNA构形的分子生物学中都有重要的应用。
装饰有凯尔特结图案的十字架不过本文要介绍的是数学中的纽结理论。它是数学学科代数拓扑的一个分支，按照数学上的术语来说，是研究如何把若干个圆环嵌入到三维实欧氏空间中去的数学分支。纽结理论的特别之处是它研究的对象必须是三维空间中的曲线。在两维空间中，由于没有足够的维数，我们不可能把一根曲线自己和自己缠绕在一起打成结；而在四维或以上的空间中，由于维数太多，无论怎么样的纽结都能够很方便地被解开成没有结的曲线。（不过纽结理论在高维的推广还是存在的，研究的是余维为2的子流形的嵌入问题，我们在这里不考虑它。）
和一般生活中的纽结不同，数学上研究的纽结一般是封闭的，没有能够自由活动绳端，就象你在封面上看见的那条绳子一样。一个圆圈是一个平凡的纽结，也就是说"没有结的纽结"：
最简单的不平凡的纽结是三叶结，按照手性不同分为互为镜象对称的左手三叶结和右手三叶结：
左手三叶结和右手三叶结如果你拿根绳子打成上面的结（因为必须是封闭的绳圈，所以打完结后要把绳子两端固定在一起），然后在不扯断绳子的前提下（当然也不能把固定在一起的绳子两端重新分开），你会发现无论怎么摆弄，都不可能把三叶结解开成为一个简单的圆圈，而且你无法把左手三叶结变到右手三叶结。
如何判断一个纽结是否可以在不剪断，不粘连的情况下，变化为另一个纽结？换句话说，如何判断两个纽结其实是否同一个纽结？这是纽结理论的中心问题。纽结理论的目的就是为了将五花八门的纽结分类。这是一个出人意料地困难的问题。比如说，在上面我们很直观地发现，三叶纽结的确打了一个结，没办法解开成为无结的绳圈，但是要在数学上证明这一点并不太容易。虽然从高斯开始就有许多数学家对纽结理论展开了研究，但是要直到1910年左右，M. Dehn才证明了的确有不能解开的，非平凡的纽结。
纽结理论最初的一个设想是使用"相交数"这个概念，来对所谓的"素形"纽结（顾名思义它们是最基本的，不能分割成两个不平凡纽结，下面这个平结就不是素形纽结，你可以把它竖着从中间劈开，
然后分别把断头接好，得到两个三叶形纽结）进行分类。如果我们把一个结放在一个平面上"摊平"，数学上来说就是向平面作一个投影，使得绳子和自身相交的点尽量地少，这些相交点的数目就是这个纽结的相交数。很显然，如果两个纽结的相交数不一样，它们就不是同一个纽结。于是相交数就是可以用来区别不同纽结的不变量。在这里，不变量就是纽结在连续变化时保持不变的某种性质，不一定真是个数量，也可以是其他的数学结构，比如我们下面要讲的纽结群。通过证明两个纽结具有不同的某个不变量，我们就证明了它们是不同的纽结。不变量方法是数学中最重要的方法之一。
不过相交数不象看起来那么有用。一方面，大量不同的纽结可以有一样的相交数；另一方面，相交数的计算非常麻烦，如果纽结复杂的话，很难证明某种把纽结摊平在平面上的方法是恰当的，有时不如直接解一下纽结来得简单。比方说下面这个纽结，看起来复杂，如果就按图上这个方式摊在平面上，它的相交数似乎是10，但其实它就是没有结的平凡绳圈。如果你解不开的话，可以按一下它的图，看看动画（MPEG格式）。
它到底打结了没有？数学家按照相交数为素形纽结命名并编制了目录，下面就是这样一张目录（点击看大图），里面列举了所有相交数小于等于8的单分支
素形纽结，和一部分相交数为9的单分支素形纽结以及一些多分支的素形纽结（镜象对称的算作同一个纽结）。对于单分支的素形纽结来说，我们看见三叶纽结是唯一的相交数为3的纽结，41是唯一相交数为4的纽结，又叫"八字结"，它有个和三叶结不同的特征，它没有左右手之分，自己就是自己的镜象。相交数为5的有2个，相交数为6的有3个，相交数为7的有7个相交数为8的有21个，相交数为9的有49个，相交数为10的有165个，相交数为11的有552个，相交数为12的有2176个，而相交数为13的有9988个 。这个表是否包含了所有相交数小于13的纽结，是否有重复计算，我们还没有的最终证明。
靠相交数这样简单直观的工具来研究纽结虽然有其必要，但是毕竟还不够强大。数学家们用代数拓扑的理论来研究纽结，方法有点匪夷所思。他们先不考虑纽结本身，却去考虑三维空间挖去纽结以后剩下来的那部分空间，考虑这个空间里的所有"闭合回路"所构成的群（就是伽罗华创立的群论研究的那个"群"，我们看见这实在是一个非常有用的工具！）这样的群叫做这个空间的"同伦群"，这是代数拓扑中的一个基本概念。大家也许在别的什么地方，比如宇宙学，或者干脆是科幻小说中（经常跟"虫洞"之类的东西在一起）听见过"单连通"、"多连通"之类的词，同伦群就是直接和这些词有关的数学概念。
这样每一个纽结就都有和它相关的一个群，叫纽结群。这个群可以用来把纽结分类，如果两个纽结的纽结群是不一样的，那么这两个纽结也一定是不一样的；而且很少会有不同的纽结具有相同的纽结群（不幸的是，并非每两个不同的纽结都有不同的纽结群，这个我们下面还会讲到）。我们还可以发展出其他的和纽结相关的不变量，比如说所谓的Alexander多项式。通过对纽结群等的研究，我们把一个纽结的问题转化成一个代数问题。另外数学家也通过几何途径发展了研究纽结的方法。
平结和错平结但是虽然数学家有了许多强有力的工具，对许多看起来很简单的纽结问题，他们还是觉得十分棘手，比如说区别平结和错平结的问题。一个水手或者童子军都可以轻而易举地区别平结和错平结，但是从数学上要去区别它们却是非常困难的。因为它们都是由两个三叶节连接起来的，只不过一个是由两个手性不同的三叶结组成，而另一个却由两个手性不同的三叶结组成。纽结群对分辨不了两种手性不同的三叶结，于是对区别平结和错平结也无能为力。一直要到1984年，数学家才发现了新的名叫Johns多项式的不变量来区分它们。纽结理论中有大量的没有被解决的问题，数学家们正不断地发明新的理论和工具来试图解开这些奇妙的纽结。
虽然数学家研究纽结理论的初衷只是由于觉得这是一个非常有趣的理论，并没有预先设想它会有什么具体的用场，今天纽结理论在研究复杂分子空间的分子化学和研究DNA构形的分子生物学中都有重要的应用。