在自然数集N之外，再引入新的元素0，-1，-2，-3，…，-n，…。称N中的元素为正整数，称0为零，称-1，-2，-3，…，-n，…为负整数。正整数、零与负整数构成整数系。

　　零不仅表示"无"它在命数法中还含有特殊的意义：表示空位的符号。中国古代用算筹计数并进行运算，空位不放算筹，虽无空位记号，但仍能为位值记数与四则运算创造良好条件。印度--阿拉伯命数法中的零来自印度的零（sunya）字，其原意也是"空"或"空白"。

　　中国最早引入了负数。《九章算术·方程》中论述的"正负术"，就是整数的加减法。减法运算可看作求解方程a+x=b，如果 a，b是自然数，则方程未必有自然数解。为了使它恒有解，就有必要把自然数系扩大为整数系。

　　关于整数系的严格理论，可用下述方法建立。在N×N（即自然数有序对的集）上定义如下的等价关系：对于自然有序对（a₁，b₁），（a₂，b₂），如果a₁+b₂=a₂+b₁，就说（a₁，b₁）～（a₂，b₂），N×N，关于上述等价关系的等价类，称为整数。一切整数的集记为Z。